Форма объёма

Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть n {displaystyle n} -форма на n {displaystyle n} -мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

Свойства

• Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
• На многообразии с формой объёма ω {displaystyle omega } , дивергенцию векторного поля X {displaystyle X} можно определить с помощью следующих тождеств: ( div ⁡ X ) ⋅ ω = L X ω = d ( X ⌟ ω ) {displaystyle (operatorname {div} X)cdot omega ={mathcal {L}}_{X}omega =d(X;lrcorner ;omega )}

где L X {displaystyle {mathcal {L}}_{X}} обозначает производную Ли по X {displaystyle X} , d {displaystyle d} — внешний дифференциал, а X ⌟ ω {displaystyle X;lrcorner ;omega } — операцию подстановки X {displaystyle X} в ω {displaystyle omega } .

Примеры

• На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.

• Симплектическое многообразие ( M , ω ) {displaystyle (M,omega )} размерности 2 ⋅ n {displaystyle 2{cdot }n} имеет естественную форму объёма ω ∧ n {displaystyle omega ^{wedge n}} .

• Любое ориентированное псевдориманово (в том числе риманово) многообразие имеет естественную форму объёма, которая в локальных координатах может быть выражена как ω = | g | ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {displaystyle omega ={sqrt {|g|}}cdot dx^{1}wedge dots wedge dx^{n}}

где | g | {displaystyle |g|} — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.