Показать меню

Форма объёма

26.07.2022
16

Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть n {displaystyle n} -форма на n {displaystyle n} -мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

Свойства

  • Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
  • На многообразии с формой объёма ω {displaystyle omega } , дивергенцию векторного поля X {displaystyle X} можно определить с помощью следующих тождеств: ( div ⁡ X ) ⋅ ω = L X ω = d ( X ⌟ ω ) {displaystyle (operatorname {div} X)cdot omega ={mathcal {L}}_{X}omega =d(X;lrcorner ;omega )}
где L X {displaystyle {mathcal {L}}_{X}} обозначает производную Ли по X {displaystyle X} , d {displaystyle d} — внешний дифференциал, а X ⌟ ω {displaystyle X;lrcorner ;omega } — операцию подстановки X {displaystyle X} в ω {displaystyle omega } .

Примеры

  • На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.
  • Симплектическое многообразие ( M , ω ) {displaystyle (M,omega )} размерности 2 ⋅ n {displaystyle 2{cdot }n} имеет естественную форму объёма ω ∧ n {displaystyle omega ^{wedge n}} .
  • Любое ориентированное псевдориманово (в том числе риманово) многообразие имеет естественную форму объёма, которая в локальных координатах может быть выражена как ω = | g | ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {displaystyle omega ={sqrt {|g|}}cdot dx^{1}wedge dots wedge dx^{n}}
где | g | {displaystyle |g|} — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.
Еще по этой теме:
Арбелос
02:01, 03 ноябрь
Арбелос
Арбелос (греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его
Число Уомерсли
16:00, 09 сентябрь
Число Уомерсли
Число Уомерсли (Wo или α) — критерий подобия в гидродинамике, определяющий соотношение между темпом пульсации потока жидкости и её вязкостью. Оно определяется следующим образом:
Метод Вольцингера
03:22, 18 декабрь
Метод Вольцингера
Метод Вольцингера — метод моделирования ветровых течений в мелких акваториях, основанный на применении линеаризованных уравнений мелкой воды. Система уравнений
Уравнение состояния Барнера — Адлера
19:38, 16 декабрь
Уравнение состояния Барнера — Адлера
Уравнение Барнера — Адлера — многопараметрическое уравнение состояния, описывающее поведение насыщенного и слегка перегретого пара. Получено Барнером (H. E. Barner) и Адлером (S. B. Adler) в 1970
Существенно особая точка
14:44, 12 декабрь
Существенно особая точка
Изолированная особая точка z 0 {displaystyle z_{0}} функции f (
Тождество Якоби
10:05, 05 декабрь
Тождество Якоби
Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операции [ ⋅ , ⋅ ] : V × V
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: