Распределение Райса

Распределение Райса является обобщением распределения Рэлея. Введено американским учёным Стефаном Райсом.

Если X {displaystyle {X}} и Y {displaystyle {Y}} — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями σ 2 {displaystyle {sigma }^{2}} и ненулевыми математическими ожиданиями (в общем случае неравными), то величина Z = X 2 + Y 2 {displaystyle Z={sqrt {X^{2}+Y^{2}}}} имеет распределение Райса, плотность вероятности которой определяется в виде

f ( x | ν , σ ) = x σ 2 exp ⁡ ( − ( x 2 + ν 2 ) 2 σ 2 ) I 0 ( x ν σ 2 ) , {displaystyle f(x| u ,sigma )={frac {x}{sigma ^{2}}}exp left({frac {-(x^{2}+ u ^{2})}{2sigma ^{2}}} ight)I_{0}left({frac {x u }{sigma ^{2}}} ight),}

где I0(z) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, ν = μ 1 2 + μ 2 2 {displaystyle u ={sqrt {mu _{1}^{2}+mu _{2}^{2}}}} , μ 1 {displaystyle mu _{1}} и μ 2 {displaystyle mu _{2}} — математические ожидания X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} .

Применение

• Распределение Райса часто используют для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала, в том числе в многолучевых каналах распространения радиосигнала.

Связь с другими распределениями

• Если X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} , то случайная величина Z = X 2 + Y 2 {displaystyle Z={sqrt {X^{2}+Y^{2}}}} имеет распределение Рэлея.