Показать меню

Субгармоническая функция

21.09.2022
24

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция U ( M ) {displaystyle U(M)} , заданная в точках M ( x 1 , … , x k ) {displaystyle M(x_{1},;ldots ,;x_{k})} произвольной k {displaystyle k} -мерной области G {displaystyle G} пространства E k {displaystyle E_{k}} , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар Q {displaystyle Q} с центром в точке M 0 {displaystyle M_{0}} , принадлежащий вместе со своей границей области G {displaystyle G} , справедливо неравенство U ( M 0 ) ⩽ 1 σ ( γ ( Q ) ) ∫ γ ( Q ) U ( M ) d σ {displaystyle U(M_{0})leqslant {frac {1}{sigma (gamma (Q))}}int limits _{gamma (Q)}U(M),dsigma } , и супергармонической, если U ( M 0 ) ⩾ 1 σ ( γ ( Q ) ) ∫ γ ( Q ) U ( M ) d σ {displaystyle U(M_{0})geqslant {frac {1}{sigma (gamma (Q))}}int limits _{gamma (Q)}U(M),dsigma } .

Основные свойства

  • f {displaystyle f} — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
  • Если G ⊂ R n {displaystyle Gsubset mathbb {R} ^{n}} — открытое множество и f ∈ C 2 ( G ) {displaystyle fin {mathcal {C}}^{2}(G)} ( C 2 ( G ) {displaystyle {mathcal {C}}^{2}(G)} — класс дважды непрерывно дифференцируемых на G {displaystyle G} функций), то для субгармоничности f {displaystyle f} необходимо и достаточно выполнение на G {displaystyle G} условия Δ f ⩾ 0 {displaystyle Delta fgeqslant 0} ( Δ {displaystyle Delta } — оператор Лапласа).
  • Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.
  • Свойства

    • Для любой аналитической функции f ( z ) {displaystyle f(z)} определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция φ ( z ) = log ⁡ | f ( z ) | {displaystyle varphi (z)=log |f(z)|}
    является субгармонической.
    Еще по этой теме:
    Барьерная функция
    01:00, 20 июнь
    Барьерная функция
    Барьерная функция — непрерывная функция, значение которой в точке стремится к бесконечности при приближении точки к границе области допустимых решений. Барьерная функция используется в задачах
    Теорема Миттаг-Леффлера
    13:00, 18 апрель
    Теорема Миттаг-Леффлера
    Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие
    Лямбда-функция
    13:00, 22 январь
    Лямбда-функция
    Термином «лямбда-функция» в точных науках может называться практически любая функция, обозначаемая греческой буквой «лямбда» (λ или Λ). Математика Примеры распространённых лямбда-функций:
    Частные производные высших порядков
    02:45, 07 декабрь
    Частные производные высших порядков
    Пусть задана функция f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} . Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно,
    Вязкостное решение
    04:18, 06 декабрь
    Вязкостное решение
    Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения. Определения Вырожденное эллиптическое
    Вариационный ряд
    08:23, 03 декабрь
    Вариационный ряд
    Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽
    Комментарии:
    Добавить комментарий
    Ваше Имя:
    Ваш E-Mail: