Показать меню

Последовательность Люка

14.10.2022
22

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей { U n ( P , Q ) } {displaystyle {U_{n}(P,Q)}} и { V n ( P , Q ) } {displaystyle {V_{n}(P,Q)}} , удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

U 0 ( P , Q ) = 0 , U 1 ( P , Q ) = 1 , U n + 2 ( P , Q ) = P ⋅ U n + 1 ( P , Q ) − Q ⋅ U n ( P , Q ) , n ≥ 0 {displaystyle U_{0}(P,Q)=0,quad U_{1}(P,Q)=1,quad U_{n+2}(P,Q)=Pcdot U_{n+1}(P,Q)-Qcdot U_{n}(P,Q),,ngeq 0} V 0 ( P , Q ) = 2 , V 1 ( P , Q ) = P , V n + 2 ( P , Q ) = P ⋅ V n + 1 ( P , Q ) − Q ⋅ V n ( P , Q ) , n ≥ 0 {displaystyle V_{0}(P,Q)=2,quad V_{1}(P,Q)=P,quad V_{n+2}(P,Q)=Pcdot V_{n+1}(P,Q)-Qcdot V_{n}(P,Q),,ngeq 0}

Примеры

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

  • { U n ( 1 , − 1 ) } {displaystyle {U_{n}(1,-1)}} — числа Фибоначчи
  • { V n ( 1 , − 1 ) } {displaystyle {V_{n}(1,-1)}} — числа Люка
  • { U n ( 2 , − 1 ) } {displaystyle {U_{n}(2,-1)}} — числа Пелля
  • { V n ( 2 , − 1 ) } {displaystyle {V_{n}(2,-1)}} — числа Пелля — Люка
  • { U n ( 3 , 2 ) } {displaystyle {U_{n}(3,2)}} — числа Мерсенна
  • { V 2 n ( 3 , 2 ) } {displaystyle {V_{2^{n}}(3,2)}} — числа Ферма
  • { U n ( 1 , − 2 ) } {displaystyle {U_{n}(1,-2)}} — числа Якобшталя
  • { U n ( 2 x , 1 ) } {displaystyle {U_{n}(2x,1)}} — многочлены Чебышёва второго рода
  • { V n ( 2 x , 1 ) } {displaystyle {V_{n}(2x,1)}} — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Явные формулы

Характеристическим многочленом последовательностей Люка { U n ( P , Q ) } {displaystyle {U_{n}(P,Q)}} и { V n ( P , Q ) } {displaystyle {V_{n}(P,Q)}} является:

x 2 − P ⋅ x + Q . {displaystyle x^{2}-Pcdot x+Q.}

Его дискриминант D = P 2 − 4 Q {displaystyle D=P^{2}-4Q} предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

α = P + D 2 {displaystyle alpha ={frac {P+{sqrt {D}}}{2}}} и β = P − D 2 {displaystyle eta ={frac {P-{sqrt {D}}}{2}}}

можно использовать для получения явных формул:

U n ( P , Q ) = α n − β n α − β = α n − β n D {displaystyle U_{n}(P,Q)={frac {alpha ^{n}-eta ^{n}}{alpha -eta }}={frac {alpha ^{n}-eta ^{n}}{sqrt {D}}}}

и

V n ( P , Q ) = α n + β n . {displaystyle V_{n}(P,Q)=alpha ^{n}+eta ^{n}.}

Формулы Виета позволяют также выразить P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} в виде:

P = α + β , {displaystyle P=alpha +eta ,} Q = α ⋅ β . {displaystyle Q=alpha cdot eta .}

Вырожденный случай

Дискриминант D {displaystyle D} обращается в ноль при P = 2 S , Q = S 2 {displaystyle P=2S,Q=S^{2}} для некоторого числа S {displaystyle S} . При этом выполняется α = β = S {displaystyle alpha =eta =S} и соответственно:

U n ( 2 S , S 2 ) = n S n − 1 , {displaystyle U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},} V n ( 2 S , S 2 ) = 2 S n . {displaystyle V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.}

Свойства

D U n = V n + 1 − Q V n − 1 = 2 V n + 1 − P V n {displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}} V n = U n + 1 − Q U n − 1 = 2 U n + 1 − P U n {displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}} U n + m = U n U m + 1 − Q U m U n − 1 = U n V m + U m V n 2 {displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}} V n + m = V n V m − Q m V n − m {displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}} U 2 n = U n V n = U n + 1 2 − Q 2 U n − 1 2 P {displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}={frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}} V 2 n = V n 2 − 2 Q n {displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}} U 2 n + 1 = U n + 1 2 − Q U n 2 {displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}}
Еще по этой теме:
Правдоподобие принятой последовательности
15:00, 18 июнь
Правдоподобие принятой последовательности
Правдоподобие принятой последовательности — в теории кодирования, оценка вероятности P (
Секционная свёртка
04:00, 12 июнь
Секционная свёртка
Секционная (секционированная) свёртка — метод вычисления свёртки, используемый, когда количество элементов одной из входных последовательностей во много раз больше, чем количество элементов другой.
Ряд Фарея
21:00, 20 февраль
Ряд Фарея
Ряды Фарея (также дроби Фарея, последовательность Фарея или таблица Фарея) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел. Определение Последовательность Фарея n
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
21:30, 15 декабрь
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или
Матрица Коши (линейная алгебра)
14:45, 04 декабрь
Матрица Коши (линейная алгебра)
В математике матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это матрица размера m × n с элементами вида a i j
Вариационный ряд
08:23, 03 декабрь
Вариационный ряд
Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail: