Константа Ландау — Рамануджана

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратов

Если N ( x ) {displaystyle N(x)} - число целых на отрезке [ 1 , x ] {displaystyle [1,;x]} , которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

N ( x ) = C x ln ⁡ ( x ) ( 1 + o ( 1 ) ) , {displaystyle N(x)={frac {Cx}{sqrt {ln(x)}}}(1+o(1)),}

где C {displaystyle C} — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:

C = lim x → ∞ N ( x ) ln ⁡ ( x ) x ≈ 0,764 223 653 589 220 662 990 698 731 25. {displaystyle C=lim _{x o infty }{frac {N(x){sqrt {ln(x)}}}{x}}approx 0{,}764;223;653;589;220;662;990;698;731;25.}

Точность приближения целого суммой двух квадратов

Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем x {displaystyle x} средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до x {displaystyle x} суммой двух квадратов целых чисел не менее ln ⁡ ( x ) 2 C ( 1 + o ( 1 ) ) {displaystyle {frac {sqrt {ln(x)}}{2C}}(1+o(1))} . Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — O ( x 1 / 4 ) {displaystyle O(x^{1/4})} . Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

min u , w ∈ Z | x − u 2 − w 2 | ⩽ x ε , {displaystyle min _{u,;win mathbb {Z} }|x-u^{2}-w^{2}|leqslant x^{varepsilon },}

где ε > 0 , ε {displaystyle varepsilon >0,;varepsilon } — любое, x ⩾ x 1 ( ε ) {displaystyle xgeqslant x_{1}(varepsilon )} .

Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точного представления

Число a {displaystyle a} представимо в виде s 2 + t 2 = a {displaystyle s^{2}+t^{2}=a} ( s {displaystyle s} и t {displaystyle t} - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида 4 k + 3 {displaystyle 4k+3} входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.

Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.