Терм (логика)

Терм — выражение формального языка (системы) специального вида. По аналогии с естественным языком, где именная группа ссылается на объект, а целое предложение ссылается на факт, в математической логике терм обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термы появляются как компоненты формулы.

Терм первого порядка рекурсивно определяется из символов постоянных, переменных и функций. Выражение, полученное путём применения предикатного символа к соответствующему количеству термов, называется логическим атомом, значение которого в двузначной логике на основе логической интерпретации оценивается как «истина» или «ложь». Например, ( x + 1 ) ∗ ( x + 1 ) {displaystyle (x+1)*(x+1)} — это терм, построенный из константы 1, переменной x и символов двоичной функции + {displaystyle +} и ∗ {displaystyle *} ; это часть атомарной формулы ( x + 1 ) ∗ ( x + 1 ) ≥ 0 {displaystyle (x+1)*(x+1)geq 0} , которая принимает значение «истина» для любого вещественного x.

Помимо логики, термы играют важную роль в универсальной алгебре и системах переписывания.

Множество T ( Σ ) {displaystyle T(Sigma )} термов сигнатуры Σ =< R , F , μ > { extstyle Sigma =<R,F,mu >} , где R {displaystyle R} — множество предикатов, F {displaystyle F} — множество функций, а μ {displaystyle mu } — отображение арности для Σ {displaystyle Sigma } , определяется индуктивно:

Запись Θ ( τ 1 , . . . , τ n ) {displaystyle Theta ( au _{1},..., au _{n})} при n = 0 {displaystyle n=0} обозначает Θ {displaystyle Theta } . В частности, из пункта 2 получаем, что символ c ∈ F {displaystyle cin F} константы сигнатуры Σ {displaystyle Sigma } является термом сигнатуры Σ {displaystyle Sigma } .