Функция Кёнигса

Функция Кёнигса связана с решением функционального уравнения

F [ f ( x ) ] = c F ( x ) , {displaystyle extstyle F[f(x)]=cF(x),}

где F ( x ) {displaystyle extstyle F(x)} — неизвестная функция, f ( x ) {displaystyle extstyle f(x)} и c {displaystyle extstyle c} — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют уравнением Шрёдера.

Пусть f ( x ) {displaystyle extstyle f(x)} — аналитическая функция, и пусть f ( α ) = α {displaystyle extstyle f(alpha )=alpha } , где α ≠ ∞ {displaystyle alpha eq infty } , причем | d f ( α ) d x | < 1 {displaystyle left|{frac {df(alpha )}{dx}} ight|<1} .

Это значит, что α {displaystyle extstyle alpha } является притягивающей неподвижной точкой функции f ( x ) {displaystyle extstyle f(x)} . Пусть f k ( x ) {displaystyle extstyle f^{k}(x)} есть k {displaystyle extstyle k} -я итерация функции f ( x ) {displaystyle extstyle f(x)} :

f 0 ( x ) = x ,     f 1 ( x ) = f ( x ) ,     f k ( x ) = f ( f k − 1 ( x ) ) {displaystyle f^{0}(x)=x,~~f^{1}(x)=f(x),~~f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))} при k = 1 , 2 , 3 , … {displaystyle k=1,2,3,ldots }

Для всякого x {displaystyle extstyle x} , принадлежащего некоторой окрестности точки α {displaystyle extstyle alpha } , последовательность итераций f k ( x )   ( k = 0 , 1 , 2 , … ) {displaystyle {f^{k}(x)}~(k=0,1,2,ldots )} сходится к α {displaystyle extstyle alpha } .

Предположив также, что d f ( α ) d x = c ≠ 0 , {displaystyle {frac {df(alpha )}{dx}}=c eq 0,}

можно показать, что в окрестности точки α {displaystyle extstyle alpha } существует предел

K f ( x ) = lim k → ∞ f k ( x ) − α [ d f ( α ) d x ] k   , {displaystyle K_{f}(x)=lim _{k o infty }{frac {f^{k}(x)-alpha }{[{frac {df(alpha )}{dx}}]^{k}}}~,}

который является в этой окрестности аналитической функцией переменной x {displaystyle extstyle x} и обладает свойствами

K f ( α ) = 0 ,     d K f ( α ) d x = 1. {displaystyle K_{f}(alpha )=0,~~{frac {dK_{f}(alpha )}{dx}}=1.}

Функция K f ( x ) {displaystyle extstyle K_{f}(x)} есть функция Кёнигса. Её ввел в 1884 французский математик Габриэль Кёнигс при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки x = α {displaystyle extstyle x=alpha } решение уравнения Шрёдера, в котором 0 < | c | < 1 {displaystyle extstyle 0<|c|<1} , отличается от K f ( x ) {displaystyle extstyle K_{f}(x)} только постоянным множителем.

Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Генри Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если

f ( x ) = x {displaystyle extstyle f(x)={sqrt {x}}} и c = 1 2 {displaystyle extstyle c={frac {1}{2}}} , то решением соответствующего уравнения Шрёдера

F [ x ] = 1 2 F ( x ) {displaystyle extstyle F[{sqrt {x}}]={frac {1}{2}}F(x)} ,

является F ( x ) = log p ⁡ x {displaystyle extstyle F(x)=log _{p}x} для любого p > 0 {displaystyle extstyle p>0} , так что F ( x ) = A log 10 ⁡ x {displaystyle extstyle F(x)=Alog _{10}x} , где A = log p ⁡ 10 {displaystyle extstyle A=log _{p}{10}} — произвольная константа. Метод вычисления функции log 10 ⁡ x {displaystyle extstyle log _{10}x} у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».