Теорема Коши — Ковалевской

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка

Рассмотрим пространство R n + 1 {displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} . Точку пространства R n + 1 {displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} будем обозначать через ( x , t ) = ( x 1 , . . . , x n , t ) {displaystyle (x,t)=(x_{1},...,x_{n},t)} , а точку, принадлежащую R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , через x = ( x 1 , . . . , x n ) {displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})} . Обозначим оператор частного дифференцирования

L ≡ ( d d t ) m + ∑ | ν | + j ⩽ m , j ⩽ m − 1 a ν , j ( x , t ) ( d d x ) ν ( d d t ) j . {displaystyle Lequiv left({frac {d}{dt}} ight)^{m}+sum _{| u |+jleqslant m,jleqslant m-1}a_{ u ,j}(x,t)left({frac {d}{dx}} ight)^{ u }left({frac {d}{dt}} ight)^{j}.}

Предположим, что коэффициенты оператора L {displaystyle L} определены в окрестности U {displaystyle U} начала координат в пространстве переменных ( x , t ) {displaystyle (x,t)} и являются аналитическими функциями. Пусть функция f {displaystyle f} также аналитична в U {displaystyle U} . Пусть вектор Ψ {displaystyle Psi } начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат x {displaystyle x} — пространства. Тогда существуют окрестность W {displaystyle W} начала координат и единственная аналитическая функция u ( x , t ) {displaystyle u(x,t)} , определённая в W {displaystyle W} , для которой

L u = f , ( x , t ) 2 W , ( d d t ) j u ( x , 0 ) = u j ( x ) , x 2 W ∩ f t = 0 g ( j = 0 , 1 , 2 , . . . , m − 1 ) . ( 1 ) {displaystyle Lu=f,(x,t){mathcal {2}}W,left({frac {d}{dt}} ight)^{j}u(x,0)=u_{j}(x),x{mathcal {2}}Wcap {mathcal {f}}t=0{mathcal {g}}qquad (j=0,1,2,...,m-1).qquad (1)}

Доказательство

Положим

u ~ ( x , t ) = u ( x , t ) − ∑ j = 0 m − 1 t j j ! u j ( x ) . {displaystyle { ilde {u}}(x,t)=u(x,t)-sum _{j=0}^{m-1}{frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x).}

Тогда из ( 1 ) {displaystyle (1)} вытекает, что

L [ u ~ ] = f − ∑ j = 0 m − 1 L [ t j j ! u j ( x ) ] . {displaystyle L[{ ilde {u}}]=f-sum _{j=0}^{m-1}Lleft[{frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x) ight].}

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для u ( x , t ) {displaystyle u(x,t)} равны нулю. Перепишем ( 1 ) {displaystyle (1)} в виде

( d d t ) m u ( x , t ) = ∑ j = 0 m − 1 α j ( x , t ; d d x ) ( d d t ) j u ( x , t ) + f ( x , t ) , ( 2 ) {displaystyle left({frac {d}{dt}} ight)^{m}u(x,t)=sum _{j=0}^{m-1}alpha _{j}(x,t;{frac {d}{dx}})left({frac {d}{dt}} ight)^{j}u(x,t)+f(x,t),qquad (2)}

где α j ( x , t ; ξ ) {displaystyle {alpha }_{j}(x,t;{xi })} — полином по ξ {displaystyle xi } степени m − j {displaystyle m-j} , коэффициенты которого аналитичны в окрестности U {displaystyle U} начала координат. Легко видеть, что коэффициенты c ν , j {displaystyle c_{ u ,j}} разложения в ряд Тейлора

u ( x , t ) = ∑ j ⩾ m ; ν c ν , j x ν t j ( 3 ) {displaystyle u(x,t)=sum _{jgeqslant m; u }c_{ u ,j}x^{ u }t^{j}qquad (3)}

определяются однозначно уравнением ( 2 ) {displaystyle (2)} и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда ( 3 ) {displaystyle (3)} .

Для доказательства сходимости ряда ( 3 ) {displaystyle (3)} используются мажорантные ряды и полиномы. Функция F ( x , t ) {displaystyle F(x,t)} называется мажорантным рядом для f ( x , t ) {displaystyle f(x,t)} в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты C μ , j {displaystyle C_{mu ,j}} её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов c μ , j {displaystyle c_{mu ,j}} разложения функции f ( x , t ) {displaystyle f(x,t)} в ряд Тейлора, то есть C μ , j ⩾ | c μ , j | {displaystyle C_{mu ,j}geqslant |c_{mu ,j}|} .

История

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.