Коэффициент размножения нейтронов

Коэффициент размножения нейтронов — отношение числа нейтронов последующего поколения к числу нейтронов в предшествующем поколении во всём объеме размножающей нейтронной среды (активной зоны ядерного реактора). Коэффициент размножения нейтронов для тепловых реакторов в бесконечной среде может быть найден с помощью формулы четырёх сомножителей:

k 0 = μ ϕ θ η {displaystyle k_{0}=mu phi heta eta } , где

• μ {displaystyle mu } — коэффициент размножения на быстрых нейтронах;
• ϕ {displaystyle phi } — вероятность избежать резонансного захвата;
• θ {displaystyle heta } — коэффициент использования тепловых нейтронов;
• η {displaystyle eta } — выход нейтронов на одно поглощение.

Эффективный коэффициент размножения нейтронов k {displaystyle k} для активной зоны конечных размеров:

k = k 0 w {displaystyle k=k_{0}w} , где w {displaystyle w} — доля нейтронов, поглощённых в активной зоне реактора, от полного числа образующихся в реакторе (или вероятность для нейтрона избежать утечки из конечного объёма активной зоны).

Общие сведения

В основе работы реактора лежит размножение частиц — нейтронов. Величина коэффициента размножения показывает, как изменяется полное число нейтронов в объёме активной зоны за время среднего цикла обращения нейтрона.

Каждый нейтрон, участвующий в цепной реакции, проходит несколько этапов: рождение в реакции деления, свободное состояние, и далее — либо потеря, либо вызов нового деления и рождения новых нейтронов.

Критическое состояние реактора характеризуется значением k = 1 {displaystyle k=1} . Если k < 1 {displaystyle k<1} , то состояние делящегося вещества считается подкритическим, а цепная реакция быстро затухает. В случае, если в начале процесса свободных нейтронов не было, цепная реакция не может возникнуть вообще. Состояние вещества при k > 1 {displaystyle k>1} называется надкритическим, а цепная реакция быстро нарастает. Нарастание продолжается, пока по каким-либо причинам k {displaystyle k} не уменьшится до 1 или ниже.

В реальных веществах тяжелые ядра могут делиться самопроизвольно, поэтому небольшое количество свободных нейтронов есть всегда, и короткие цепные реакции протекают в делящемся веществе постоянно. Также такие реакции могут быть запущены частицами, приходящими из космоса. По этой причине, как только k {displaystyle k} превышает единицу — например, достигается необходимая критическая масса — процесс лавинообразного развития цепной реакции запускается немедленно.

Ядерный реактор

Основная статья: Ядерный реактор

Контролируемая реакция цепного деления ядер используется в ядерных реакторах. В процессе работы реактора делящееся вещество поддерживается в критическом состоянии с помощью введения в активную зону дополнительного количества делящегося вещества, либо увеличения объема веществ, поглощающих нейтроны. Часть реактора, в которой происходит процесс выделения энергии от цепных реакций деления ядер, называется активной зоной.

Развитие цепной реакции деления во времени

Изменение числа нейтронов в некритическом реакторе можно найти по формуле:

d n d t = n ( k − 1 ) τ {displaystyle {{dn} over {dt}}={{n(k-1)} over { au }}} (2)

где τ {displaystyle au } — время нейтронного цикла.

То есть, если в какой-то момент времени в реакторе есть n {displaystyle n} нейтронов, то через время τ {displaystyle au } их количество будет равно k n {displaystyle kn} , а разница составит ( k n − n ) = n ( k − 1 ) {displaystyle (kn-n)=n(k-1)} .Решение уравнения (2) даёт зависимость числа нейтронов от времени:

n ( t ) = n 0 exp ⁡ ( k − 1 τ t ) {displaystyle n(t)=n_{0}exp {left({{k-1} over { au }},t ight)}} (3)

где n 0 {displaystyle n_{0}} — число нейтронов в момент t = 0 {displaystyle t=0} .

В реакторе

Для реакторов на тепловых нейтронах время нейтронного цикла достигает τ = 10 − 3 {displaystyle au =10^{-3}} секунд. Если принять k = 1 , 01 {displaystyle k=1{,}01} , то всего через секунду количество нейтронов возрастёт в n ( 1 ) n 0 = exp ⁡ 0 , 01 0 , 001 = e 10 ≈ 20000 {displaystyle {{n(1)} over {n_{0}}}={exp {{0{,}01} over {0,001}}}=e^{10}approx 20000} раз, как и выделение энергии в реакторе. Для реальных реакторов эта оценка является несколько завышенной, так как не учитывает запаздывание нейтронов.

При взрыве

Для чистых делящихся веществ время нейтронного цикла имеет порядок 10 − 8 {displaystyle 10^{-8}} секунд. При k = 1 , 1 {displaystyle k=1{,}1} количество нейтронов за это время увеличивается в 10 26 {displaystyle 10^{26}} раз. Например, в случае урана при данном k {displaystyle k} через 6 микросекунд после начала реакции делению подвергнется примерно 40 кг вещества, а за 6 миллисекунд это число составит уже 400 кг. Такое быстрое нарастание деления будет сопровождаться огромным выбросом энергии, что приведёт к ядерному взрыву. Энергия, выделяющаяся при делении 1 кг урана, равна энергии, получаемой при взрыве 20 000 тонн тринитротолуола.

Нейтронный цикл и вывод формулы четырёх сомножителей

Рассмотрим циклический процесс увеличения числа нейтронов в реакторе, работающем на топливе из 235U и 238U.

Допустим, некоторое количество тепловых нейтронов в активной зоне вызвали деление ядер 235U, в результате чего появилось n {displaystyle n} быстрых нейтронов текущего поколения. Быстрые нейтроны, в отличие от тепловых, чрезвычайно редко взаимодействуют с ядрами 235U, но часто приводят к делению ядер 238U, приводя к возникновению ещё большего количества быстрых нейтронов. Фактор, показывающий, во сколько раз число нейтронов, полученных при делении ядер 235U, увеличивается за счёт деления ядер 238U, называется коэффициентом размножения на быстрых нейтронах μ {displaystyle mu } . С учётом этого, число быстрых нейтронов становится равным n μ {displaystyle nmu } .

Быстрые нейтроны теряют энергию в замедлителях реактора. Нейтрон во время этого процесса может быть поглощён ядром атома какого-либо вещества, не вызвав деления этого ядра. Количественно этот эффект характеризуется вероятностью избежания резонансного захвата ϕ {displaystyle phi } . Обычно резонансный захват происходит на веществах, отличных от основного делящегося элемента, поэтому наличие таких веществ в активной зоне стараются свести к минимуму. Вещества, обладающие заметным резонансным захватом, нарабатываются и прямо в процессе работы реактора — например, 239Pu и 240Pu.

Нейтроны, избежавшие резонансного захвата, после потери энергии в замедлителях становятся тепловыми; их количество равно n μ ϕ {displaystyle nmu phi } . Часть нейтронов захватывается веществами-поглотителями нейтронов, с помощью которых осуществляется управление реактором. Оставшаяся часть участвует в делении ядер 235U. Доля тепловых нейтронов, участвующих в делении, называется коэффициентом использования тепловых нейтронов θ {displaystyle heta } . На каждый тепловой нейтрон, «затраченный» на запуск деления ядра, выделяется в среднем η {displaystyle eta } быстрых нейтронов уже следующего поколения — таким образом, цикл на этом замыкается, и общее количество нейтронов следующего поколения можно найти как произведение n μ ϕ θ η {displaystyle nmu phi heta eta } .

Таким образом, по определению коэффициента размножения нейтронов, его значение k 0 {displaystyle k_{0}} равно:

k 0 = n μ ϕ θ η n = μ ϕ θ η {displaystyle k_{0}={nmu phi heta eta over n}=mu phi heta eta } .