Поверхность Ричмонда

Поверхность Ричмонда — минимальная поверхность, впервые описанная английским математиком Гербертом Уильямом Ричмондом в 1904 году. Это семейство поверхностей с одним планарным концом и одним самопересекающимся концом как у поверхности Эннепера.

Поверхность имеет параметризацию Вейерштрасса — Эннепера f ( z ) = 1 / z 2 , g ( z ) = z m {displaystyle f(z)=1/z^{2},g(z)=z^{m}} . Это позволяет параметризацию на основе комплексных параметров

X ( z ) = ℜ [ ( − 1 / 2 z ) − z 2 m + 1 / ( 4 m + 2 ) ] Y ( z ) = ℜ [ ( − i / 2 z ) + i z 2 m + 1 / ( 4 m + 2 ) ] Z ( z ) = ℜ [ z m / m ] {displaystyle {egin{aligned}X(z)&=Re [(-1/2z)-z^{2m+1}/(4m+2)]Y(z)&=Re [(-i/2z)+iz^{2m+1}/(4m+2)]Z(z)&=Re [z^{m}/m]end{aligned}}}

Ассоциированным семейством поверхности является просто вращение поверхности вокруг оси z.

Принимая m = 2, получаем вещественное параметрическое выражение

X ( u , v ) = ( 1 / 3 ) u 3 − u v 2 + u u 2 + v 2 Y ( u , v ) = − u 2 v + ( 1 / 3 ) v 3 − v u 2 + v 2 Z ( u , v ) = 2 u {displaystyle {egin{aligned}X(u,v)&=(1/3)u^{3}-uv^{2}+{frac {u}{u^{2}+v^{2}}}Y(u,v)&=-u^{2}v+(1/3)v^{3}-{frac {v}{u^{2}+v^{2}}}Z(u,v)&=2uend{aligned}}}