Логарифмический декремент колебаний

Логарифмический декремент колебаний (декремент затухания; от лат. decrementum — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины x в одну и ту же сторону:

λ = ln ⁡ x 0 x 1 . {displaystyle lambda =ln {frac {x_{0}}{x_{1}}}.}

Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания β, умноженному на период колебаний T:

λ = β T . {displaystyle lambda =eta T.}

Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как

x ( t ) = A e − β t cos ⁡ ω t , {displaystyle x(t)=Ae^{-eta t}cos omega t,}

где A = x(0) — начальная амплитуда, t — время, ω = 2π/T — циклическая частота колебания.

Обозначив Xn = x(nT), получаем отсюда, что отношение величин Xk и Xk+1 равно

X k / X k + 1 = e − β k T e − ( k + 1 ) β T ⋅ cos ⁡ ( 2 π k ) cos ⁡ ( 2 π ( k + 1 ) ) = e β T . {displaystyle X_{k}/X_{k+1}={frac {e^{-eta kT}}{e^{-(k+1)eta T}}}cdot {frac {cos(2pi k)}{cos(2pi (k+1))}}=e^{eta T}.}

Логарифмический декремент равен показателю этой экспоненты:

λ = ln ⁡ ( X k / X k + 1 ) = ln ⁡ e β T = β T . {displaystyle lambda =ln(X_{k}/X_{k+1})=ln e^{eta T}=eta T.}

Если энергия колебательной системы пропорциональна x, то её добротность (относительная потеря энергии за время нарастания фазы на 1 радиан) равна

Q = 2 π 1 − e − 2 λ , {displaystyle Q={frac {2pi }{1-e^{-2lambda }}},}

а логарифмический декремент выражается через добротность как

λ = − 1 2 ln ⁡ ( 1 − 2 π Q ) . {displaystyle lambda =-{frac {1}{2}}ln left(1-{frac {2pi }{Q}} ight).}

Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) λ ≪ 1 , {displaystyle lambda ll 1,} поэтому можно, разложив e − λ {displaystyle e^{-lambda }} в ряд Маклорена по λ, ограничиться первыми двумя членами и заменить в этих формулах e − λ {displaystyle e^{-lambda }} на 1 − λ , {displaystyle 1-lambda ,} что приводит к

Q ≈ π λ , λ ≈ π Q . {displaystyle Qapprox {frac {pi }{lambda }},qquad lambda approx {frac {pi }{Q}}.}