Евклидова геометрия

Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

Аксиоматика

Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В «Началах» Евклида была дана система аксиом, на которой базируется вся евклидова геометрия:

Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения, в частности так называемая теорема Паша, которая не может быть выведена из постулатов Евклида.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:

• аксиоматика Александрова;
• аксиоматика Биркгофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие;
• аксиоматика Тарского.

Системы обозначений

Существует несколько конкурирующих систем обозначений.

• Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами A , B , C , … {displaystyle A,B,C,dots } .
• Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами a , b , c , … {displaystyle a,b,c,dots } .
• Расстояние между точками P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} обычно обозначается P Q {displaystyle PQ} или | P Q | {displaystyle |PQ|} .
• Отрезок между точками P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} обычно обозначается [ P Q ] {displaystyle [PQ]} или P Q ¯ {displaystyle {overline {PQ}}} .
• Луч из точки P {displaystyle P} через точку Q {displaystyle Q} обычно обозначается [ P Q ) {displaystyle [PQ)} или P Q → {displaystyle {overrightarrow {PQ}}} .
• Прямая через точки P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} обычно обозначается ( P Q ) {displaystyle (PQ)} или P Q ↔ {displaystyle {overleftrightarrow {PQ}}} .
• Треугольник с вершинами P {displaystyle P} , Q {displaystyle Q} и R {displaystyle R} обычно обозначается △ P Q R {displaystyle riangle PQR} или [ P Q R ] {displaystyle [PQR]} .
• Площадь фигуры F {displaystyle F} обычно обозначается S ( F ) {displaystyle S(F)} или | F | {displaystyle |F|} .
• Угол, образованный лучами [ O P ) {displaystyle [OP)} и [ O Q ) {displaystyle [OQ)} , обычно обозначается ∠ P O Q {displaystyle angle POQ} .
• Величина угла ∠ P O Q {displaystyle angle POQ} обычно обозначается ∡ P O Q {displaystyle measuredangle POQ} .
  • При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой α , β , γ , … {displaystyle alpha ,eta ,gamma ,dots }