Когомологии де Рама

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. k {displaystyle k} -мерная группа когомологий де Рама многообразия M {displaystyle M} обычно обозначается H d R k ( M ) {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{k}(M)} .

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии M {displaystyle M} с внешним дифференциалом d k {displaystyle d,^{k}} в качестве дифференциала.

0 → Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → d 1 Ω 2 ( M ) → d 2 Ω 3 ( M ) → … {displaystyle 0 o Omega ^{0}(M){stackrel {d^{0}}{ o }}Omega ^{1}(M){stackrel {d^{1}}{ o }}Omega ^{2}(M){stackrel {d^{2}}{ o }}Omega ^{3}(M) o ldots }

Здесь Ω 0 ( M ) {displaystyle Omega ^{0}(M)} — пространство гладких функций на M {displaystyle M} , Ω 1 ( M ) {displaystyle Omega ^{1}(M)} — пространство 1-форм, то есть Ω k ( M ) {displaystyle Omega ^{k}(M)} — пространство k {displaystyle k} -форм. Заметим, что d k + 1 d k = 0 {displaystyle d^{k+1}d^{k}=0} . k {displaystyle k} -мерная группа когомологий H k {displaystyle H^{k}} этого коцепного комплекса является его мерой точности в k {displaystyle k} -м члене и определяется как

H k ( Ω ∙ , d ∙ ) = Ker ⁡ d k / Im ⁡ d k − 1 . {displaystyle H^{k}(Omega ^{ullet },;d^{ullet })=operatorname {Ker} d^{k}/operatorname {Im} d^{k-1}.}

• Форма α ∈ Ω k ( M ) {displaystyle alpha in Omega ^{k}(M)} называется замкнутой, если d k α = 0 {displaystyle d^{k}alpha =0} , в этом случае α ∈ Ker ⁡ d k {displaystyle alpha in operatorname {Ker} d^{k}} .
• Форма α ∈ Ω k ( M ) {displaystyle alpha in Omega ^{k}(M)} называется точной, если α = d k − 1 γ {displaystyle alpha =d^{k-1}gamma } , для некоторой γ ∈ Ω k − 1 {displaystyle gamma in Omega ^{k-1}} , то есть α ∈ Im ⁡ d k − 1 {displaystyle alpha in operatorname {Im} d^{k-1}} .

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } в Ω k ( M ) {displaystyle Omega ^{k}(M)} называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность α − β = d γ {displaystyle alpha -eta =dgamma } является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в Ω k ( M ) {displaystyle Omega ^{k}(M)} .

Когомологическим классом [ α ] {displaystyle [alpha ]} формы α {displaystyle alpha } называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от α {displaystyle alpha } на точную форму — то есть множество форм вида α + d γ {displaystyle alpha +dgamma } .

k {displaystyle k} -мерная группа когомологий де Рама H d R k ( M ) {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{k}(M)} — это факторгруппа всех замкнутых форм в Ω k ( M ) {displaystyle Omega ^{k}(M)} по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия M {displaystyle M} , имеющего N {displaystyle N} связных компонент,

H d R 0 ( M ) ≅ R N . {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{0}(M)cong mathbf {R} ^{N}.}

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если ω {displaystyle omega } — замкнутая k {displaystyle k} -форма, а M {displaystyle M} и N {displaystyle N} — гомологичные k {displaystyle k} -цепи (то есть M − N {displaystyle M-N} является границей ( k + 1 ) {displaystyle (k+1)} -мерной цепи W {displaystyle W} ), то

∫ M ω = ∫ N ω , {displaystyle int limits _{M}omega =int limits _{N}omega ,}

поскольку их разность есть интеграл

∫ ∂ W ω = ∫ W d ω = ∫ W 0 = 0. {displaystyle int limits _{partial W}omega =int limits _{W},domega =int limits _{W}0=0.}

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама H d R k ( M ) {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{k}(M)} в группу сингулярных когомологий H k ( M ; R ) {displaystyle H^{k}(M;;mathbf {R} )} . Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

H d R k ( M ) ≅ H k ( M ; R ) . {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{k}(M)cong H^{k}(M;;mathbf {R} ).}

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп H d R k ( M ) {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{k}(M)} структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях H k ( M ; R ) {displaystyle H^{k}(M;;mathbf {R} )} задаёт ⌣ {displaystyle smile } -умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием X {displaystyle X} над полем k {displaystyle k} связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия X {displaystyle X} называются группы когомологий H d R p ( X / k ) {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{p}(X/k)} .

Частные случаи когомологий де Рама

• Если X {displaystyle X} является гладким и полным многообразием, а характеристика поля c h a r k = 0 {displaystyle mathrm {char} ,k=0} , то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
• Если многообразие X {displaystyle X} есть гладкое аффинное многообразие, а поле k = C {displaystyle k=mathbb {C} } , то справедлив следующий аналог теоремы де Рама: H d R p ( X / k ) ≅ H p ( X a n , C ) , {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{p}(X/k)cong H^{p}(X_{an},;mathbb {C} ),}

где X a n {displaystyle X_{an}} — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию X {displaystyle X} .

• Например, если X {displaystyle X} — дополнение к алгебраической гиперповерхности в P n ( C ) {displaystyle P^{n}(mathbb {C} )} , то когомологии H p ( X , C ) {displaystyle H^{p}(X,;mathbb {C} )} могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на P n ( C ) {displaystyle P^{n}(mathbb {C} )} с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма f : X → S {displaystyle fcolon X o S} можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

∑ p ⩽ 0 Γ ( Ω X / S p ) , {displaystyle sum _{pleqslant 0}Gamma (Omega _{X/S}^{p}),}

приводящий к относительным когомологиям де Рама H d R p ( X / S ) {displaystyle H_{mathrm {dR} }^{p}(X/S)} .

В случае, если многообразие X {displaystyle X} является спектром кольца S p e c A {displaystyle mathrm {Spec} ,A} , а S = S p e c B {displaystyle S=mathrm {Spec} ,B} , то относительный комплекс де Рама совпадает с Λ Ω A / B 1 {displaystyle Lambda Omega _{A/B}^{1}} .

Когомологии H d R p ( X / S ) {displaystyle {mathcal {H}}_{mathrm {dR} }^{p}(X/S)} комплекса пучков ∑ p ⩽ 0 f ∗ Ω X / S p {displaystyle sum _{pleqslant 0}f_{*}Omega _{X/S}^{p}} на S {displaystyle S} называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли f {displaystyle f} — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на S {displaystyle S} .