Обратный элемент

Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).

Определения

Пусть ( M , ⋅ ) {displaystyle (M,cdot )} — множество M , {displaystyle M,} на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой ( ⋅ {displaystyle cdot } ), с нейтральным элементом e {displaystyle e} . Пусть x , y {displaystyle x,y} — пара произвольных элементов множества M {displaystyle M} . Если справедливо равенство x ⋅ y = e , {displaystyle xcdot y=e,} то y {displaystyle y} называется правым обратным (или обратным справа) к x {displaystyle x} .

Аналогичным образом, если выполнено равенство y ⋅ x = e , {displaystyle ycdot x=e,} то y {displaystyle y} называется левым обратным (обратным слева) к x . {displaystyle x.}

Элемент y ∈ M {displaystyle yin M} , являющийся обратным к x {displaystyle x} и справа, и слева, то есть такой, что
x ⋅ y = y ⋅ x = e , {displaystyle xcdot y=ycdot x=e,}
называется просто обратным к x {displaystyle x} и обозначается x − 1 {displaystyle x^{-1}} . Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

• Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация ( M , + ) {displaystyle (M,+)} , то обратный элемент называется противоположным и обозначается − x {displaystyle -x} .
• Вообще говоря, один и тот же элемент x ∈ M {displaystyle xin M} может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Свойства

Пусть операция ⋅ {displaystyle cdot } ассоциативна. Тогда если для элемента x ∈ M {displaystyle xin M} определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

Примеры