Показать меню

Обратный элемент

01.12.2020
81

Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).

Определения

Пусть ( M , ⋅ ) {displaystyle (M,cdot )} — множество M , {displaystyle M,} на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой ( ⋅ {displaystyle cdot } ), с нейтральным элементом e {displaystyle e} . Пусть x , y {displaystyle x,y} — пара произвольных элементов множества M {displaystyle M} . Если справедливо равенство x ⋅ y = e , {displaystyle xcdot y=e,} то y {displaystyle y} называется правым обратным (или обратным справа) к x {displaystyle x} .

Аналогичным образом, если выполнено равенство y ⋅ x = e , {displaystyle ycdot x=e,} то y {displaystyle y} называется левым обратным (обратным слева) к x . {displaystyle x.}

Элемент y ∈ M {displaystyle yin M} , являющийся обратным к x {displaystyle x} и справа, и слева, то есть такой, что
x ⋅ y = y ⋅ x = e , {displaystyle xcdot y=ycdot x=e,}
называется просто обратным к x {displaystyle x} и обозначается x − 1 {displaystyle x^{-1}} . Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

  • Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация ( M , + ) {displaystyle (M,+)} , то обратный элемент называется противоположным и обозначается − x {displaystyle -x} .
  • Вообще говоря, один и тот же элемент x ∈ M {displaystyle xin M} может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Свойства

Пусть операция ⋅ {displaystyle cdot } ассоциативна. Тогда если для элемента x ∈ M {displaystyle xin M} определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

Примеры

Еще по этой теме:
Декорирование журнального столика
10:29, 24 декабрь
Декорирование журнального столика
Изначально может показаться, что декорировать журнальный столик, - легко и просто. Может это и так, но здесь не обойтись без чувства стиля и композиции. Прислушавшись к рекомендациям специалистов
Надежная запорная арматура для промышленности
19:34, 20 июнь
Надежная запорная арматура для промышленности
Трубопроводы являются важнейшим элементом личного комфорта граждан, так как благодаря им поставляется тепло, вода, в связке с ними работает канализация.
Гигроскопические методы определения полного давления влаги (часть 1)
14:42, 13 март
Гигроскопические методы определения полного давления влаги (часть 1)
Одним из хорошо изученных явлений в физике и физической химии оказалось влияние поверхностно-адсорбционных, капиллярных и осмотических сил на относительную упругость водяного пара, находящегося в
Простой сдвиг тела
14:23, 13 март
Простой сдвиг тела
Пусть имеется гипсовая модель шара (рис. XVI.2), рассеченная на тонкие параллельные слои (а). В случае приложения нагрузки сфера примет форму трехосного эллипсоида (б). Каждый слой переместится в
Пластическая деформация и вязкое течение тела (часть 1)
14:23, 13 март
Пластическая деформация и вязкое течение тела (часть 1)
Поведение призмы из пластилина при весьма малых напряжениях не будет существенно отличаться от поведения стальной призмы. В обоих случаях будут наблюдаться упругие деформации, однако, даже при одних
Восходящее саморазвитие катены (часть 3)
13:45, 13 март
Восходящее саморазвитие катены (часть 3)
Можно с уверенностью сказать, что катена первого варианта способна развиваться скорее, чем катена второго. Обратный латеральный поток влаги и вещества может проявиться в первой катене через 2—5 тыс.
Комментарии:
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent