Квадратное треугольное число

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Например, число 36 является и квадратным ( 6 × 6 {displaystyle 6 imes 6} ), и треугольным ( 9 × 8 2 ) {displaystyle left({frac {9 imes 8}{2}} ight)} :

Квадратные треугольные числа образуют последовательность:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … (последовательность A001110 в OEIS).

Формулы

Будем записывать Nk для k-го квадратного треугольного числа, sk и tk для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

N k = s k 2 = t k ( t k + 1 ) 2 . {displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}

Последовательности Nk, sk и tk присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу

N k = ( ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 ) 2 . {displaystyle N_{k}=left({frac {(3+2{sqrt {2}})^{k}-(3-2{sqrt {2}})^{k}}{4{sqrt {2}}}} ight)^{2}.}

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

N k = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 2 k − ( 1 − 2 ) 2 k ) 2 = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 4 k − 2 + ( 1 − 2 ) 4 k ) = 1 32 ( ( 17 + 12 2 ) k − 2 + ( 17 − 12 2 ) k ) . {displaystyle {egin{aligned}N_{k}&={1 over 32}left((1+{sqrt {2}})^{2k}-(1-{sqrt {2}})^{2k} ight)^{2}={1 over 32}left((1+{sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{sqrt {2}})^{4k} ight)&={1 over 32}left((17+12{sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{sqrt {2}})^{k} ight).end{aligned}}}

Соответствующие явные формулы для sk и tk:

s k = ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 {displaystyle s_{k}={frac {(3+2{sqrt {2}})^{k}-(3-2{sqrt {2}})^{k}}{4{sqrt {2}}}}}

и

t k = ( 3 + 2 2 ) k + ( 3 − 2 2 ) k − 2 4 . {displaystyle t_{k}={frac {(3+2{sqrt {2}})^{k}+(3-2{sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}

Уравнение Пелля

Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

t ( t + 1 ) 2 = s 2 . {displaystyle {frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим

( 2 t + 1 ) 2 = 8 s 2 + 1 , {displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

x 2 − 2 y 2 = 1 , {displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля Pk

x = P 2 k + P 2 k − 1 , y = P 2 k ; {displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},quad y=P_{2k};}

и потому все решения задаются формулами

s k = P 2 k 2 , t k = P 2 k + P 2 k − 1 − 1 2 , N k = ( P 2 k 2 ) 2 . {displaystyle s_{k}={frac {P_{2k}}{2}},quad t_{k}={frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},quad N_{k}=left({frac {P_{2k}}{2}} ight)^{2}.}

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентные отношения

Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем

N k = 34 N k − 1 − N k − 2 + 2 , N 0 = 0 , N 1 = 1. {displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.} N k = ( 6 N k − 1 − N k − 2 ) 2 , N 0 = 1 , N 1 = 36. {displaystyle N_{k}=left(6{sqrt {N_{k-1}}}-{sqrt {N_{k-2}}} ight)^{2},N_{0}=1,N_{1}=36.}

А также

s k = 6 s k − 1 − s k − 2 , s 0 = 0 , s 1 = 1 ; {displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;} t k = 6 t k − 1 − t k − 2 + 2 , t 0 = 0 , t 1 = 1. {displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.}

Другие свойства

Все квадратные треугольные числа имеют вид b2c2, где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2.

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

( 4 n ( n + 1 ) ) ( 4 n ( n + 1 ) + 1 ) 2 = 2 2 n ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 ) 2 . {displaystyle {frac {{igl (}4n(n+1){igr )}{igl (}4n(n+1)+1{igr )}}{2}}=2^{2},{frac {n(n+1)}{2}},(2n+1)^{2}.}

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов: 2 2 {displaystyle 2^{2}} (очевидно), ( n ( n + 1 ) ) / 2 {displaystyle (n(n+1))/2} (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и ( 2 n + 1 ) 2 {displaystyle (2n+1)^{2}} (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет:

1 + z ( 1 − z ) ( z 2 − 34 z + 1 ) = 1 + 36 z + 1225 z 2 + ⋯ . {displaystyle {frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+cdots .}

Численные значения

С увеличением k, отношение tk / sk стремится к 2 ≈ 1.41421 {displaystyle {sqrt {2}}approx 1.41421} , а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к 17 + 12 2 ≈ 33.97056 {displaystyle 17+12{sqrt {2}}approx 33.97056} .

k N k s k t k t k / s k N k / N k − 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 36 6 8 1.33333 36 3 1 225 35 49 1.4 34.02778 4 41 616 204 288 1.41176 33.97224 5 1 413 721 1 189 1 681 1.41379 33.97061 6 48 024 900 6 930 9 800 1.41414 33.97056 7 1 631 432 881 40 391 57 121 1.41420 33.97056 {displaystyle {egin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}&0&0&0&&1&1&1&1&1&2&36&6&8&1.33333&363&1,225&35&49&1.4&34.027784&41,616&204&288&1.41176&33.972245&1,413,721&1,189&1,681&1.41379&33.970616&48,024,900&6,930&9,800&1.41414&33.970567&1,631,432,881&40,391&57,121&1.41420&33.97056end{array}}}