Кольцо Крулля

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Определение

Пусть A {displaystyle A} — область целостности, а P {displaystyle P} — множество всех простых идеалов A {displaystyle A} высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. A {displaystyle A} является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

Свойства

Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным.

Пусть A {displaystyle A} — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение A ^ {displaystyle {widehat {A}}} — кольцо Крулля, то и A {displaystyle A} — кольцо Крулля.

Примеры

• Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
• Если A {displaystyle A} — кольцо Крулля, то кольцо многочленов A [ x ] {displaystyle A[x]} и кольцо формальных степенных рядов A [ [ x ] ] {displaystyle A[[x]]} являются кольцами Крулля.
• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных R [ x 1 , x 2 , x 3 , … ] {displaystyle R[x_{1},x_{2},x_{3},ldots ]} над факториальным кольцом R {displaystyle R} — пример rольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
• Пусть A {displaystyle A} — нётерова область с полем частных K {displaystyle K} , и L {displaystyle L} — конечное расширение K {displaystyle K} . Тогда целое замыкание A {displaystyle A} в L {displaystyle L} — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты).

Группа классов дивизоров

Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу D ( A ) {displaystyle D(A)} можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу D ( A ) {displaystyle D(A)} , фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо A {displaystyle A} факториально.

Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров D ( A ) {displaystyle D(A)} . Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара обратимых пучков на S p e c ( A ) {displaystyle Spec(A)} .

Пример: в кольце k [ x , y , z ] / ( x y − z 2 ) {displaystyle k[x,y,z]/(xy-z^{2})} группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором y = z {displaystyle y=z} ), тогда как группа Пикара тривиальна.