Показать меню

Кольцо Крулля

02.12.2020
61

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Определение

Пусть A {displaystyle A} — область целостности, а P {displaystyle P} — множество всех простых идеалов A {displaystyle A} высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. A {displaystyle A} является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

  • A p {displaystyle A_{mathfrak {p}}} — кольцо дискретного нормирования для всех p ∈ P {displaystyle {mathfrak {p}}in P} ,
  • A {displaystyle A} равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных A {displaystyle A} ).
  • Любой ненулевой элемент A {displaystyle A} содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.
  • Свойства

    Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным.

    Пусть A {displaystyle A} — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение A ^ {displaystyle {widehat {A}}} — кольцо Крулля, то и A {displaystyle A} — кольцо Крулля.

    Примеры

    • Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
    • Если A {displaystyle A} — кольцо Крулля, то кольцо многочленов A [ x ] {displaystyle A[x]} и кольцо формальных степенных рядов A [ [ x ] ] {displaystyle A[[x]]} являются кольцами Крулля.
    • Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных R [ x 1 , x 2 , x 3 , … ] {displaystyle R[x_{1},x_{2},x_{3},ldots ]} над факториальным кольцом R {displaystyle R} — пример rольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
    • Пусть A {displaystyle A} — нётерова область с полем частных K {displaystyle K} , и L {displaystyle L} — конечное расширение K {displaystyle K} . Тогда целое замыкание A {displaystyle A} в L {displaystyle L} — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты).

    Группа классов дивизоров

    Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу D ( A ) {displaystyle D(A)} можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу D ( A ) {displaystyle D(A)} , фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо A {displaystyle A} факториально.

    Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров D ( A ) {displaystyle D(A)} . Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара обратимых пучков на S p e c ( A ) {displaystyle Spec(A)} .

    Пример: в кольце k [ x , y , z ] / ( x y − z 2 ) {displaystyle k[x,y,z]/(xy-z^{2})} группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором y = z {displaystyle y=z} ), тогда как группа Пикара тривиальна.

    Еще по этой теме:
    Торический узел
    17:35, 02 декабрь
    Торический узел
    Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в R 3
    Фосфид молибдена
    14:14, 02 декабрь
    Фосфид молибдена
    Фосфид молибдена — неорганическое соединение металла молибдена и фосфора с формулой MoP, чёрные кристаллы, не растворимые в воде. Получение Электролизом расплава гексаметафосфата молибдена:
    Квадратное треугольное число
    05:27, 02 декабрь
    Квадратное треугольное число
    В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных
    Окружность Аполлония
    01:13, 02 декабрь
    Окружность Аполлония
    Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная
    Обратный элемент
    23:38, 01 декабрь
    Обратный элемент
    Обратный элемент — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения). Определения Пусть ( M
    Набухание почвы (часть 4)
    14:20, 13 март
    Набухание почвы (часть 4)
    Порядок проведения опыта. Кольцо с насадкой заполняют грунтом путем постепенного вдавливания в грунт. Кольцо с образцом вынимают ножом, срезают излишки и зачищают торцевые поверхности. Осторожно
    Комментарии:
    Добавить комментарий
    Ваше Имя:
    Ваш E-Mail:
    • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
      heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
      winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
      worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
      expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
      disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
      joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
      sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
      neutral_faceno_mouthinnocent